اختبار المشتقّة الثانية — التفاضل والتكامل I

التفاضل والتكامل أحادي المتغير من المبادئ الأولى

بمجرّد أن تجد نقطة حرجة (حيث f′ = 0)، هناك طريقة سريعة لمعرفة ما إذا كانت قمّة أم وادٍ، أسرع من فحص الإشارات على الجانبين. اكتفِ بالنظر إلى التقعّر هناك، مستعينًا بالمشتقّة الثانية.

المنطق بسيط. عند نقطة مسطّحة، إذا كان المنحنى مُقعَّرًا إلى الأعلى (مقعّر لأعلى)، فلا بدّ أنّك في قاع وعاء، أي نقطة صغرى. وإذا كان مُقعَّرًا إلى الأسفل (مقعّر لأسفل)، فأنت في قمّة قبّة، أي نقطة عظمى.

تخيل وضع كرة زجاجية على بقعة مسطحة من سطح منحنٍ، ثم صب القليل من الماء. الوعاء يحتفظ بالماء ويحتضن الكرة في القاع، تلك نهاية صغرى، تتقوس للأعلى. القبة تسقط الماء وتسمح للكرة بالتدحرج من القمة، تلك نهاية عظمى، وتتغطى للأسفل. المشتقة الثانية تخبرك ببساطة عن الشكل الذي تقف عليه.

أين يظهر هذا في تعلّم الآلةيتعمّم هذا مباشرةً إلى اختبار الهسّيان في التحسين متعدّد المتغيّرات: عند نقطة يكون فيها التدرّج صفرًا، يشير هسّيان موجب التعريف (كلّ القيم الذاتيّة > 0، نسخة المصفوفة من f″ > 0) إلى نقطة صغرى؛ وسالب التعريف يشير إلى نقطة عظمى؛ والإشارات المختلطة تشير إلى سرج. فحص القيم الذاتيّة للهسّيان هو بالضبط هذا الاختبار أحاديّ البُعد مكبَّرًا إلى أسطح خسارة النماذج الحقيقيّة.