التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات من المبادئ الأولى
يبدأ التحسين في أبعاد كثيرة من حيث بدأ تماماً في بُعد واحد: ابحث عن المكان الذي يكون فيه الميل صفراً. لكن «الميل» الآن هو متجه التدرج بأكمله، لذا فإن النقطة الحرجة هي حيث يتلاشى كل مشتق جزئي في آنٍ واحد، ∇f = 0.
هذا شرط ضروري لكنه غير كافٍ: فالتدرج الصفري يدل على نقطة صغرى أو عظمى أو نقطة سرج. وللتمييز بينها تستعين بـهيسيان وتقرأ إشارات قيمه الذاتية، أي اختبار المرتبة الثانية من الدرس 13. التدرج الصفري يحدّد المرشّح؛ وهيسيان يصنّفه.
امش في ملعب جولف جبلي وابحث عن الأماكن المستوية، الأماكن التي ستستقر فيها الكرة بهدوء. منصة الانطلاق على قمة التل، والمنطقة الخضراء المنخفضة في تجويف، والسرج المسطح على طول تلال هي كلها مناطق تكون فيها الأرض مسطحة مؤقتاً في كل الاتجاهات. هذا التسطيح هو ∇f = 0؛ سواء كنت على قمة، أو في تجويف، أو على سرج، فهذا سؤال منفصل تجيب عليه الهيسية.