المشتقة الاتجاهية

التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات من المبادئ الأولى

المشتقات الجزئية لا تخبرك إلا بالميل على امتداد المحاور الإحداثية، لكن يمكنك أن تسير في أي اتجاه. المشتقة الاتجاهية D_u f تُجيب: إذا خطوت على امتداد متجه الوحدة u، فكم تتغير f بسرعة؟ ويتبيّن أن الجواب جداء نقطي واحد مع التدرّج.

تخيل المشي عبر نفس التل، ولكن بدلاً من مواجهة الصعود مباشرة، تختار اتجاه بوصلة، ولنقل الشمال الشرقي، وتمشي بتلك الطريقة. المشتقة الاتجاهية D_u f هي الانحدار الذي تشعر به فعلياً تحت حذائك على طول هذا الاتجاه. اتجه نحو الاتجاه الأكثر انحداراً وستشعر بالتسلق الكامل؛ استدر للجانب على طول التل وستشعر أن الأرض مسطحة.

بما أن D_u f = ∇f·u = ‖∇f‖‖u‖cos θ = ‖∇f‖cos θ (لأن u متجه وحدة)، يكون معدل التغير أكبر ما يكون تماماً عندما cos θ = 1، أي عندما يشير u على امتداد ∇f. أدِر سهم الاتجاه أدناه وراقب قراءة الميل تبلغ ذروتها عندما يصطفّ مع التدرّج وتتلاشى عندما يكون متعامداً.