كانت الإحصاء حتى الآن في معظمها عن المتوسطات والمقاربات. تطرح متباينات التركّز سؤالًا أحدّ، خاصًّا بالعيّنات المنتهية: ما مدى احتمال أن تستقرّ كمية عشوائية بعيدًا عن متوسطها؟ إجاباتها هي العمود الفقري الرياضي لسبب قدرة تعلّم الآلة على تقديم ضمانات أصلًا.
أبسطها، التي لا تتطلّب سوى متغيّر غير سالب ومتوسطه، هي متباينة ماركوف:
تقول إن متغيّرًا غير سالب لا يمكن أن يكون كثيرًا أضعاف متوسطه على نحو متكرّر. إن كان المتوسط صغيرًا، فالقيم الكبيرة لا بدّ أن تكون نادرة. فجّة، لكنها لا تحتاج إلى شيء يُذكر.
أين يظهر هذا في تعلّم الآلةحدّ هوفدينغ هو قلب نظرية التعميم: فهو سبب أن خطأ نموذج المقيس على مجموعة اختبار منتهية قريب بشكل قابل للإثبات من خطئه الحقيقي، باحتمال عالٍ، التبرير الرسمي للثقة بدرجة الاختبار. هذا هو محرّك تعلّم PAC ("صحيح تقريبيًا على الأرجح"): مع عيّنات كافية، تكون الفجوة بين أداء التدريب والأداء الحقيقي صغيرة باحتمال عالٍ. تحوّل متباينات التركّز "مزيد من البيانات يساعد" إلى مبرهنة.