Многопроменливо смятане от първи принципи
Формулата за сумиране по пътищата всъщност е матрично умножение, изписано елемент по елемент. Когато функциите са векторнозначни, верижното правило се свежда до чисто умножение на якобиани – и точно тази форма използват реалните системи за автоматично диференциране (autograd).
За композиция f ∘ g Якобианът на цялото преобразуване е Якобианът на външното преобразуване (пресметнат във вътрешния изход), умножен по Якобиана на вътрешното преобразуване:
Проверката на размерностите изяснява всичко. Ако g: Rⁿ → Rᵏ и f: Rᵏ → Rᵐ, то J_g е k×n, J_f е m×k, а произведението им е m×n – точно размерността, която изисква цялото преобразуване Rⁿ → Rᵐ. Вътрешната размерност k се съкращава, както при обикновеното матрично умножение.