Многопроменливо смятане от първи принципи
Точно както едномерната функция има втора производна, функцията с множество променливи има частни производни от втори ред. Диференцирате два пъти. Новото тук е, че сега можете да избирате по коя променлива да диференцирате всеки път и нещо интересно се случва, когато ги смесвате.
Несмесените втори частни производни ∂²f/∂x² и ∂²f/∂y² измерват кривината по всяка от осите. Смесената частна производна ∂²f/∂x∂y се получава, като диференцираме първо по y, а после по x; тя измерва как наклонът в едната посока се променя, докато се движите в другата.
Първата частна производна ви казва стръмността на склона; втората частна производна ви казва как самата тази стръмност се променя, докато се движите, което е кривината на наклона. Вървейки на изток, земята продължава ли да става по-стръмна или започва да се изравнява? Това огъване на източния наклон ∂f/∂x, докато напредвате по-на изток, е втората частна производна ∂²f/∂x², кривината на хълма по тази посока.