Геометрия и алгебра на линейни приложения, вектори и матрици
Разлагането по сингулярни стойности (SVD) прави нещо, което нито едно друго факторизиране не може: всяка матрица, квадратна или правоъгълна, с пълен ранг или не, се разлага на три изчистени геометрични части.
Четейки отдясно наляво, всяка линейна трансформация представлява една и съща тристъпкова процедура: Vᵀ завърта входа, за да го подравни с десните сингулярни вектори (оси), Σ (диагонална матрица с неотрицателните сингулярни стойности σ₁ ≥ σ₂ ≥ …) мащабира всяка ос, а U завърта резултата в изходното пространство. Окръжност от входни вектори винаги се преобразува в елипса, а сингулярните стойности представляват дължините на полуосите на тази елипса.
Наблюдавайте на фигурата как единичната окръжност се превръща в елипса, чиито полуоси са точно сингулярните стойности.