Eindimensionale Analysis aus ersten Prinzipien
Wenn die erste Ableitung f′ die Steigung angibt, was sagt dann die Ableitung der Steigung aus? Das ist die zweite Ableitung f″, und sie misst, wie sich die Steigung ändert, also die Krümmung der Kurve.
Leite einfach zweimal ab. Für f(x) = x³: zuerst f′ = 3x², dann f″ = 6x. Du kannst weitermachen (dritte, vierte Ableitung), wobei jede die vorige ableitet.
Das Vorzeichen von f″ sagt aus, in welche Richtung sich die Kurve krümmt. Ist f″ > 0, so ist die Kurve konkav nach oben: Sie wölbt sich nach oben wie eine Schale (∪), und die Steigung nimmt zu. Ist f″ < 0, so ist sie konkav nach unten: Sie wölbt sich nach unten wie eine Kuppel (∩), und die Steigung nimmt ab. Wo die Krümmung umschlägt, liegt ein Wendepunkt.