Eindimensionale Analysis aus ersten Prinzipien
Eine Handvoll Taylor-Reihen taucht so häufig auf, dass es sich lohnt, sie auswendig zu beherrschen. Erkennt man sie wieder, kann man auf einen Blick entwickeln, approximieren und vereinfachen, ohne jedes Mal die Koeffizienten neu herzuleiten.
Beachte die Muster: eˣ verwendet jede Potenz, geteilt durch eine Fakultät; sin verwendet nur ungerade Potenzen (es ist eine ungerade Funktion) und cos nur gerade; die geometrische Reihe 1/(1−x) besteht einfach aus allen Potenzen mit dem Koeffizienten 1.
Eine Reihe stimmt nur innerhalb eines Konvergenzradius mit ihrer Funktion überein. Für eˣ, sin und cos ist der Radius unendlich; sie funktionieren für jedes x. Aber 1/(1−x) und ln(1+x) konvergieren nur für |x| < 1; geht man darüber hinaus, divergiert die Reihe ins Sinnlose.