Mehrdimensionale Analysis aus ersten Prinzipien
Der Gradient bündelte alle ersten Ableitungen. Die Hesse-Matrix bündelt alle zweiten Ableitungen einer skalaren Funktion f: Rⁿ → R in einer Matrix. Wo der Gradient die Steigung angibt, liefert die Hesse-Matrix die Krümmung: also wie sich die Steigung selbst ändert, wenn man sich bewegt.
Nach dem Satz von Clairaut (Lektion 6) gilt Hᵢⱼ = Hⱼᵢ, sodass die Hesse-Matrix für die glatten Funktionen, mit denen wir uns befassen, stets symmetrisch ist. Das ist ein Geschenk: Symmetrische Matrizen haben reelle Eigenwerte und orthogonale Eigenvektoren, und diese Eigenwerte sind genau die Krümmungen entlang der Hauptrichtungen.
Wenn der Gradient der Tachometer einer Oberfläche ist, ist die Hesse-Matrix ihr Krümmungsarmaturenbrett: Sie berichtet, wie sich die Steigung selbst gleichzeitig in jede Richtung biegt. Eine Oberfläche, die sich überall um dich herum nach oben wölbt, liest sich wie der Grund eines Tals; eine, die sich überall nach unten wölbt, liest sich wie die Spitze einer Kuppel; in eine Richtung nach oben und in eine andere nach unten ist ein Sattel. Die Hesse-Matrix packt all das in ein symmetrisches Gitter von zweiten Ableitungen.