Mehrdimensionale Analysis aus ersten Prinzipien
Auf einer Geraden konnten Sie sich einem Punkt nur von zwei Seiten nähern, von links und von rechts. In der Ebene und darüber hinaus können Sie einen Punkt aus unendlich vielen Richtungen ansteuern, entlang jedem beliebigen Weg. Diese zusätzliche Freiheit macht Grenzwerte in Rⁿ wirklich schwieriger, und diese Lektion ist eher eine Warnung als ein Rezept.
Eine Funktion f hat genau dann den Grenzwert L an einem Punkt p, wenn sie sich auf denselben Wert L zubewegt, unabhängig davon, auf welchem Weg man sich nähert. Führen zwei verschiedene Wege zu zwei verschiedenen Ergebnissen, dann existiert der Grenzwert schlicht nicht.
Du verabredest dich mit einem Freund an einem Brunnen in der Mitte eines Platzes. Du kannst vom Nordeingang, der Ostgasse oder auf einer beliebigen gewundenen Diagonale über den Platz darauf zugehen, aber du musst am selben Brunnen ankommen. Ein Grenzwert im Rⁿ verlangt genau das: Die Funktion muss auf einen Wert zusteuern, egal welchen Weg man nach innen nimmt. Wenn zwei Ansätze nicht übereinstimmen, wo sie landen, gibt es keinen Treffpunkt, und der Grenzwert existiert nicht.