Mehrdimensionale Analysis aus ersten Prinzipien
Genau wie eine 1-D-Funktion eine zweite Ableitung besitzt, hat auch eine mehrdimensionale Funktion partielle Ableitungen zweiter Ordnung. Du differenzierst zweimal. Das Neue daran ist, dass du nun jedes Mal wählen kannst, nach welcher Variablen du ableitest, und dass etwas Ordentliches geschieht, wenn du sie mischst.
Die reinen zweiten partiellen Ableitungen ∂²f/∂x² und ∂²f/∂y² messen die Krümmung entlang der jeweiligen Achse. Die gemischte partielle Ableitung ∂²f/∂x∂y differenziert zuerst nach y und dann nach x; sie misst, wie sich die Steigung in einer Richtung ändert, wenn man sich in die andere Richtung bewegt.
Eine erste partielle Ableitung verrät dir die Steilheit des Hangs; eine zweite partielle Ableitung verrät dir, wie sich diese Steilheit selbst verändert, wenn du dich bewegst, was die Krümmung der Steigung ist. Wird der Boden, wenn man nach Osten geht, immer steiler oder beginnt er abzuflachen? Diese Biegung der Oststeigung ∂f/∂x, wenn man weiter nach Osten vordringt, ist die zweite partielle Ableitung ∂²f/∂x², die Krümmung des Hügels in dieser Richtung.