Geometrie und Algebra von linearen Abbildungen, Vektoren und Matrizen
Die Matrixmultiplikation wirkt wie eine umständliche Regel, aber ihre Bedeutung ist klar: AB ist die Verkettung zweier Transformationen. Führe zuerst B aus, dann A. Das Produkt ist die einzige Matrix, die beide Bewegungen in einem Schritt ausführt.
Um einen Eintrag von AB zu berechnen, nimmt man eine Zeile von A und bildet das Skalarprodukt mit einer Spalte von B. Der Eintrag (i, j) ist das Skalarprodukt von Zeile i von A mit Spalte j von B. Das ist das gesamte Verfahren: Skalarprodukte, angeordnet in einem Gitter.
Stell dir zwei Maschinen an einem Fließband vor. Die erste Maschine B formt ein Teil um, dann formt die zweite Maschine A es noch einmal um. Das Produkt AB ist die einzelne kombinierte Maschine, die beide Schritte in einem Durchgang erledigt — und die Reihenfolge auf der Linie ist fest, da das Teil durch B muss, bevor es zu A kommt.