Die Mathematik der Unsicherheit
Mit Ergebnissen wie "Kopf" oder "die dritte rote Karte" lässt sich schlecht rechnen. Eine Zufallsvariable behebt das: Sie ist eine Regel, die jedem Ergebnis eine Zahl zuordnet, formal X: Ω → ℝ. Wirft man drei Münzen und lässt X die Anzahl der Köpfe zählen, so wird jedes Ergebnis auf 0, 1, 2 oder 3 abgebildet, und wir können Mittelwerte bilden, quadrieren und summieren.
Ein Glücksrad landet auf farbigen Feldern, und jede Farbe zahlt einen anderen Betrag aus: eine Zahl, die jedem Ergebnis angeheftet ist. Diese Zahl ist eine Zufallsvariable X, das Bargeld, das du bei einem Dreh gewinnst. Aufzulisten, wie oft jede Auszahlung vorkommt, p(x) = P(X = x), zeigt dir die gesamte Verteilung deines Preises.
Für eine diskrete Zufallsvariable gibt die Wahrscheinlichkeitsfunktion (PMF) p(x) = P(X = x) die Wahrscheinlichkeit für jeden Wert an. Sie muss nicht-negativ sein und sich über den Träger zu 1 summieren — das sind lediglich die Axiome, neu formuliert auf Zahlen.