Cálculo multivariable desde primeros principios
La fórmula suma-de-caminos es realmente multiplicación matricial escrita término por término. Cuando las funciones son vectoriales, la regla de la cadena se colapsa en un producto limpio de Jacobianas, y esta es la forma que alimenta a los sistemas autograd reales.
Para una composición f ∘ g, el Jacobiano del todo es el Jacobiano de la función externa (evaluada en la salida interna) por el Jacobiano de la función interna:
La verificación de forma es lo que hace que funcione. Si g: Rⁿ → Rᵏ y f: Rᵏ → Rᵐ, entonces J_g es k×n, J_f es m×k, y su producto es m×n, exactamente la forma que exige el mapa total Rⁿ → Rᵐ. La dimensión interna k se cancela, justo como en una multiplicación matricial ordinaria.