Calcul multivarié depuis les premiers principes
La formule de la somme sur les chemins est en réalité une multiplication matricielle écrite terme par terme. Lorsque les fonctions sont à valeurs vectorielles, la règle de dérivation en chaîne se réduit à un produit net de jacobiennes, et c'est cette forme qui alimente les véritables systèmes de différentiation automatique.
Pour une composition f ∘ g, la jacobienne du tout est la jacobienne de l'application extérieure (évaluée à la sortie intérieure) fois la jacobienne de l'application intérieure :
La vérification des formes est ce qui fait que tout s'emboîte. Si g: Rⁿ → Rᵏ et f: Rᵏ → Rᵐ, alors J_g est k×n, J_f est m×k, et leur produit est m×n, exactement la forme qu'exige l'application globale Rⁿ → Rᵐ. La dimension intérieure k se simplifie, tout comme dans une multiplication matricielle ordinaire.