גזירות

חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי חד־משתני מיסודות ראשונים

פונקציה היא גזירה בנקודה אם יש לה שם שיפוע יחיד ומוגדר היטב: קו משיק אחד, בלי עמימות. רוב העקומות החלקות גזירות בכל מקום. אבל לחלק מהפונקציות, אף שהן רציפות לחלוטין, יש נקודה שבה פשוט אי אפשר לקבוע את השיפוע. הבנה היכן נגזרות נכשלות חשובה לא פחות מהיכולת לחשב אותן.

אם לפונקציה יש שיפוע בנקודה, היא אינה יכולה לקפוץ שם, ולכן גזירה ⇒ רציפה. הכיוון ההפוך אינו נכון: פונקציה יכולה להיות רציפה (אפשר לצייר אותה בלי להרים את העט) ובכל זאת לא להיות בעלת שיפוע בנקודה מסוימת. הפער בין "רציפה" ל"גזירה" הוא בדיוק החלק המעניין.

הערך המוחלט |x| הוא הדוגמה הסטנדרטית. הוא רציף בכל מקום, בלי שבירה ב־0. אבל בדיוק בפינה, השיפוע הנכנס משמאל הוא −1 והשיפוע היוצא לימין הוא +1. שני שיפועים שונים נפגשים בנקודה חדה, ולכן אין משיק יחיד. הנגזרת אינה קיימת ב־x = 0.