נגזרת כיוונית

חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי רב־משתני מיסודות ראשונים

נגזרות חלקיות מספרות לך רק את השיפוע לאורך צירי הקואורדינטות, אבל אפשר ללכת בכל כיוון. הנגזרת הכיוונית D_u f עונה: אם אני צועד לאורך וקטור היחידה u, כמה מהר f משתנה? התשובה מתבררת כמכפלה סקלרית אחת עם הגרדיאנט.

דמיינו שאתם מטיילים לאורך אותה גבעה, אך במקום לפנות היישר במעלה הגבעה, אתם בוחרים כיוון מצפן, למשל צפון-מזרח, והולכים בדרך זו. הנגזרת המכוונת D_u f היא השיפוע שאתם באמת מרגישים תחת מגפיכם לאורך כיוון זה. פנו אל עבר הכיוון התלול ביותר ותרגישו את מלוא הטיפוס; פנו הצידה לאורך צלע הגבעה והקרקע תרגיש שטוחה.

כיוון ש־D_u f = ∇f·u = ‖∇f‖‖u‖cos θ = ‖∇f‖cos θ (כי u הוא וקטור יחידה), קצב השינוי גדול ביותר בדיוק כש־cos θ = 1, כלומר כש־u מצביע לאורך ∇f. סובב את חץ הכיוון למטה וצפה בתצוגת השיפוע מגיעה לשיא כשהוא מתיישר עם הגרדיאנט ונעלמת כשהוא מאונך לו.