גאומטריה ואלגברה של העתקות לינאריות, וקטורים ומטריצות
אלימינציה גאוסיאנית היא האלגוריתם השיטתי לפתרון Ax = b ביד או במכונה. הרעיון: השתמש בפעולות שורות פשוטות כדי לגלף את המערכת לצורת מדרגות (echelon), ואז לקרוא את התשובה על ידי עבודה לאחור.
שלוש פעולות שורות מותרות, ואף אחת לא משנה את אוסף הפתרונות: החלף שתי שורות, הכפל שורה במספר שאינו אפס, או הוסף כפולה של שורה אחת לאחרת. משתמשים בהן כדי להפיל איברים לאפס, עמודה אחת בכל פעם.
האיבר השונה מאפס הראשון בכל שורה הוא ציר. עבוד מלמעלה למטה, משתמש בכל ציר כדי לאפס את כל מה שמתחתיו, עד שהמטריצה משולשית עליונה. ואז הצבה לאחור: השורה האחרונה נותנת משתנה אחד ישירות; הצב אותו בשורה שמעל וטפס למעלה.