श्रृंखला नियम: आव्यूह रूप

प्रथम सिद्धांतों से बहु-चर कलन

पथों-पर-योग सूत्र वास्तव में आव्यूह गुणन है जिसे पद-दर-पद लिखा गया है। जब फलन सदिश-मान होते हैं, तो श्रृंखला नियम जैकोबियनों के एक साफ़ गुणनफल में सिकुड़ जाता है, और यही वह रूप है जो वास्तविक ऑटोग्रेड प्रणालियों को चलाता है।

रचना f ∘ g के लिए, पूरे का जैकोबियन बाहरी मानचित्र का जैकोबियन (आंतरिक आउटपुट पर मूल्यांकित) गुणा आंतरिक मानचित्र का जैकोबियन है:

आकार जाँच ही इसे क्लिक कराती है। यदि g: Rⁿ → Rᵏ और f: Rᵏ → Rᵐ, तो J_g k×n है, J_f m×k है, और उनका गुणनफल m×n है, ठीक वह आकार जो समग्र मानचित्र Rⁿ → Rᵐ माँगता है। आंतरिक विमा k समाप्त हो जाती है, जैसे साधारण आव्यूह गुणन में।