दिशात्मक अवकलज

प्रथम सिद्धांतों से बहु-चर कलन

आंशिक अवकलज केवल निर्देशांक अक्षों के अनुदिश ढाल बताते हैं, लेकिन आप किसी भी दिशा में चल सकते हैं। दिशात्मक अवकलज D_u f उत्तर देता है: यदि मैं एकांक सदिश u के अनुदिश कदम रखूँ, तो f कितनी तेज़ी से बदलता है? उत्तर ग्रेडिएंट के साथ एक बिंदु गुणन निकलता है।

कल्पना करें कि आप उसी पहाड़ी पर चढ़ाई कर रहे हैं, लेकिन सीधे ऊपर की ओर मुँह करने के बजाय आप कंपास की एक दिशा (compass bearing) चुनते हैं, मान लीजिए उत्तर-पूर्व, और उसी दिशा में चलते हैं। दिशात्मक व्युत्पन्न (directional derivative) D_u f वह ढलान है जो आप वास्तव में उस दिशा में अपने जूतों के नीचे महसूस करते हैं। सबसे खड़ी दिशा की ओर बढ़ें और आप पूरी चढ़ाई महसूस करेंगे; पहाड़ी के साथ-साथ मुड़ें और ज़मीन समतल महसूस होगी।

चूँकि D_u f = ∇f·u = ‖∇f‖‖u‖cos θ = ‖∇f‖cos θ (क्योंकि u एकांक सदिश है), परिवर्तन की दर तब सबसे बड़ी होती है जब cos θ = 1, अर्थात जब u ∇f के अनुदिश इशारा करता है। नीचे के दिशा तीर को घुमाएँ और देखें ढाल रीडिंग ग्रेडिएंट के संरेख होने पर चरम पर और लंबकोणीय होने पर शून्य हो।