Kalkulus satu variabel dari prinsip pertama
Sebuah fungsi diferensiabel di sebuah titik jika ia memiliki satu kemiringan yang terdefinisi jelas di sana: satu garis singgung, tanpa ambiguitas. Kebanyakan kurva mulus diferensiabel di mana-mana. Tetapi beberapa fungsi, meskipun benar-benar kontinu, memiliki tempat di mana kemiringannya tidak bisa dipastikan. Memahami di mana turunan gagal sama pentingnya dengan menghitungnya.
Jika sebuah fungsi memiliki kemiringan di suatu titik, ia tidak bisa memiliki lompatan di sana, jadi diferensiabel ⇒ kontinu. Kebalikannya salah: sebuah fungsi bisa kontinu (dapat digambar tanpa mengangkat pena) tetapi tetap gagal memiliki kemiringan di suatu titik. Celah antara "kontinu" dan "diferensiabel" adalah bagian yang menarik.
Nilai mutlak |x| adalah contoh standar. Ia kontinu di mana-mana, tanpa patahan di 0. Tetapi tepat di sudutnya, kemiringan yang datang dari kiri adalah −1 dan kemiringan yang keluar ke kanan adalah +1. Dua kemiringan berbeda bertemu di titik tajam, jadi tidak ada satu tangen tunggal. Turunan tidak ada di x = 0.