Calcolo multivariabile dai primi principi
Gli autovalori della Hessiana trasformano la domanda nebulosa 'che tipo di punto critico è questo?' in una checklist pulita. In un punto dove il gradiente è zero, i segni degli autovalori della Hessiana ti dicono se sei in una ciotola, su una cupola, o a una sella.
Questo è il test della derivata seconda multivariabile, ed è una generalizzazione diretta dell'1-D: lì, f″ > 0 significava un minimo e f″ un massimo. Gli autovalori della Hessiana sono le versioni in molte direzioni di quel singolo numero.
Immagina tre spuntini. Una ciotola di zuppa si incurva verso l'alto indipendentemente da come la inclini, una cupola di gelato si incurva verso il basso ovunque, e una patatina Pringle si piega verso l'alto lungo la sua lunghezza ma verso il basso attraverso la sua larghezza. Gli autovalori dell'Hessiana sono semplicemente le curvature lungo quelle direzioni speciali: segno uguale significa ciotola o cupola, segni opposti (come 2 e −2) significano la patatina, una sella.