Calcolo multivariabile dai primi principi
La formula somma-su-percorsi è davvero moltiplicazione matriciale scritta termine per termine. Quando le funzioni sono a valori vettoriali, la regola della catena collassa in un prodotto pulito di Jacobiane, e questa è la forma che alimenta i veri sistemi autograd.
Per una composizione f ∘ g, la Jacobiana del tutto è la Jacobiana della mappa esterna (valutata all'output dell'interna) per la Jacobiana della mappa interna:
Il controllo della forma è ciò che la fa cliccare. Se g: Rⁿ → Rᵏ e f: Rᵏ → Rᵐ, allora J_g è k×n, J_f è m×k, e il loro prodotto è m×n, esattamente la forma che la mappa complessiva Rⁿ → Rᵐ richiede. La dimensione interna k si semplifica, come nella moltiplicazione matriciale ordinaria.