Geometria e algebra di applicazioni lineari, vettori e matrici
La trasposta Aᵀ riflette una matrice rispetto alla sua diagonale principale: le righe diventano colonne e le colonne diventano righe. L'elemento (i, j) si scambia con l'elemento (j, i). Una matrice (m×n) diventa (n×m).
Immagina un foglio di calcolo dove le righe sono le persone e le colonne sono i mesi in cui ognuno ha pagato. La trasposizione inclina l'intera tabella sulla sua diagonale in modo che le righe diventino colonne: ora le righe sono i mesi e le colonne sono le persone. Nessun numero viene perso o cambiato — ogni valore si sposta semplicemente nella sua cella speculare, dove la sua etichetta di riga e l'etichetta di colonna si sono scambiate di posto.
Una matrice uguale alla propria trasposta, A = Aᵀ, è simmetrica: bilanciata a specchio rispetto alla diagonale, con Aᵢⱼ = Aⱼᵢ. Queste matrici sono talmente speciali che due intere lezioni successive sono dedicate proprio a loro.