第一原理からの多変数微分積分
出力もベクトルのとき、関数f: Rⁿ → Rᵐでは、勾配1つでは足りない。すべての出力のすべての入力に対する偏微分が必要です。すべてを行列に積むとヤコビアンJが得られ、ベクトル値写像の完全な第1微分です。
Jの行iはi番目の出力の勾配です。だからヤコビアンは勾配の積み重ねで、出力座標ごとに1つ。その形はm × n：出力の数の行、入力の数の列。
サウンドエンジニアのミキシングデスクを考えてみてください。すべての出力チャンネルがすべての入力ノブに反応します。ヤコビ行列は、その感度表を書き出したものです。各エントリは、1つの入力ノブを動かしたときに1つの出力がどれだけ動くかを示しています。行を横に読むと、1つの出力を駆動するすべてのものがわかります。列を下に読むと、1つのノブが制御するすべてのものがわかります。