第一原理からの多変数微分積分
ヘッセ行列の固有値は「これはどんな種類の臨界点か？」という曖昧な問いをきれいなチェックリストに変える。勾配がゼロの点で、ヘッセの固有値の符号がボウルの底、ドームの頂、サドルのどれにいるかを教える。
これが多変数の第2微分テストで、1次元の直接の一般化：そこではf″ > 0が最小、f″ が最大を意味した。ヘッセの固有値はその単一の数の多方向版です。
3つのスナックを想像してみてください。スープのボウルはどちらに傾けても上向きに曲がり、アイスクリームのドームはどこでも下向きに曲がり、プリングルスのチップスは長さに沿って上向きに曲がりますが、幅に沿って下向きに曲がります。ヘッセ行列の固有値は、まさにそれらの特別な方向に沿った曲率です。同じ符号はボウルまたはドームを意味し、反対の符号（2 や −2 のように）はチップ、つまりサドル（鞍点）を意味します。