連鎖律：行列形式

第一原理からの多変数微分積分

経路にわたる和の公式は実は項ごとに書き出した行列の積です。関数がベクトル値のとき、連鎖律はヤコビアンのきれいな積に縮み、これが実際のautogradシステムを駆動する形式です。

合成f ∘ gについて、全体のヤコビアンは外側の写像のヤコビアン（内側の出力で評価）に内側の写像のヤコビアンを掛けたもの：

形のチェックがわかる鍵です。g: Rⁿ → Rᵏとf: Rᵏ → Rᵐなら、J_gはk×n、J_fはm×k、積はm×nで、全体の写像Rⁿ → Rᵐが要求する形にちょうど一致する。内側の次元kが消え、通常の行列の積と同じ。