第一原理からの多変数微分積分
偏微分は座標軸に沿った傾きしか教えないが、任意の方向に歩ける。方向微分D_u fは答える：単位ベクトルuに沿ってステップすると、fはどれだけ速く変わるか？答えは勾配との単一の内積です。
同じ丘をハイキングすることを想像してみてください。しかし、まっすぐ上を向くのではなく、北東などのコンパスの方位を選び、その方向に歩きます。方向微分 D_u f は、その方向に沿ってブーツの下で実際に感じる傾斜です。最も急な方向に向かうと完全な登りを感じ、丘の中腹に沿って横向きになると地面は平らに感じます。
D_u f = ∇f·u = ‖∇f‖‖u‖cos θ = ‖∇f‖cos θ（uは単位ベクトルなので）だから、変化率はcos θ = 1のとき、つまりuが∇fに沿って向くとき最大になる。下の方向矢印を回して、勾配に整列したとき傾きの読みがピークに、垂直のときゼロになる様子を見てください。