제1원리에서 출발하는 일변수 미적분
y가 언제나 깔끔한 y = f(x) 꼴로 주어지는 것은 아닙니다. 때로는 원 x² + y² = 25처럼 방정식 속에 얽혀 있기도 합니다. 이때 음함수 미분을 쓰면 그 식을 굳이 풀어내지 않고도 기울기 dy/dx를 구할 수 있습니다.
이 방법 전체는 하나의 가정 위에 서 있습니다. y를 x의 (숨어 있는) 함수로 취급하는 것입니다. 그런 다음 방정식의 양변을 x에 대해 미분합니다. y 항을 미분할 때마다 연쇄 법칙이 dy/dx라는 인수를 덧붙이는데, 이는 y가 x에 의존하기 때문입니다.
벽에 기대어 미끄러지기 시작하는 사다리를 상상해 보세요. 발부분이 밖으로 미끄러질 때 꼭대기는 아래로 미끄러집니다: 수평 위치 x와 수직 위치 y는 사다리의 고정된 길이에 묶인 채로 함께 변합니다. 어느 하나를 다른 하나에 대해 풀지 않더라도 변화율을 여전히 연관 지을 수 있습니다. 음함수 미분법이 정확히 그 일을 하며, y만 따로 풀어내지 않고 x와 y를 묶어주는 방정식을 미분합니다.