제1원리에서 출발하는 일변수 미적분
볼록성은 최적화를 쉽게 만들어 주는 형태입니다. 볼록 함수는 어디에서나 그릇처럼 위로 패여 있는데, 바로 이 하나의 성질이 최소화를 쉽게 합니다. 가장 낮은 점이 정확히 하나뿐이고, 어느 내리막 경로를 택하든 곧장 그곳으로 이어지기 때문입니다.
볼록성을 보는 동등한 방법이 세 가지 있습니다. 첫째, 이계 도함수가 어디에서나 음이 아닙니다. 즉 f″(x) ≥ 0입니다. 둘째, 곡선이 위로 패여 있고 아래로 휘는 일이 없습니다. 셋째, 정의 그 자체에 해당하는 그림으로, 임의의 두 점을 잇는 현이 곡선 위쪽에 놓입니다.
부드러운 계곡이나 그릇의 안쪽을 상상하고 어디든 구슬을 떨어뜨려 보세요. 어디서 시작하든, 구슬은 항상 단일 최하단 지점으로 굴러가 그곳에 정착합니다. 그것이 바로 볼록성(convexity)이 가져다주는 이점입니다: 계곡 하나, 가짜 바닥이 없으므로, 어떤 내리막길을 타든 오직 하나의 진정한 최솟값으로 이어집니다.