제1원리에서 출발하는 일변수 미적분
몇몇 테일러 급수는 워낙 자주 나오기 때문에 통째로 외워 둘 만한 가치가 있습니다. 이것들을 알아보면 매번 계수를 다시 유도할 필요 없이, 보자마자 전개하고 근사하고 단순화할 수 있습니다.
패턴에 주목해 보세요. eˣ는 모든 거듭제곱을 팩토리얼로 나눈 형태이고, sin은 홀수 거듭제곱만(기함수이므로), cos는 짝수 거듭제곱만 씁니다. 등비급수 1/(1−x)는 모든 거듭제곱의 계수가 그저 1입니다.
급수는 수렴 반경 안에서만 원래 함수와 같습니다. eˣ, sin, cos는 수렴 반경이 무한이어서 모든 x에서 통합니다. 하지만 1/(1−x)와 ln(1+x)는 |x| < 1에서만 수렴하며, 그 범위를 넘어서면 급수가 무의미한 값으로 발산합니다.