제1원리에서 출발하는 다변수 미적분
편도함수는 좌표축을 따르는 기울기만 알려 주지만, 실제로는 어떤 방향으로든 걸어 나갈 수 있습니다. 방향 도함수 D_u f가 그 답을 줍니다. 단위 벡터 u를 따라 한 걸음 내딛으면 f는 얼마나 빠르게 변할까요? 그 답은 놀랍게도 그래디언트와의 단 한 번의 내적으로 주어집니다.
같은 언덕을 하이킹한다고 상상해 보십시오. 하지만 똑바로 오르막을 향하는 대신 나침반 방향을 북동쪽으로 정하고 그 방향으로 걷습니다. 방향 도함수 D_u f는 그 방향을 따라 당신이 부츠 밑으로 실제로 느끼는 경사입니다. 가장 가파른 방향으로 향하면 전체 오르막을 느낍니다; 산중턱을 따라 옆으로 돌아서면 땅이 평평하게 느껴집니다.
u가 단위 벡터이므로 D_u f = ∇f·u = ‖∇f‖‖u‖cos θ = ‖∇f‖cos θ가 됩니다. 따라서 변화율은 cos θ = 1일 때, 즉 u가 ∇f를 따라 향할 때 가장 커집니다. 아래에서 방향 화살표를 돌려 보면서, 기울기 값이 그래디언트와 정렬될 때 최댓값에 이르고 수직일 때 0이 되는 모습을 살펴보세요.