선형 사상, 벡터, 행렬의 기하학과 대수
행렬은 단순한 숫자 격자에 그치지 않습니다. 행렬은 공간을 변환하는 함수입니다. 벡터 x를 넣으면 새로운 벡터 Ax를 돌려줍니다. 평면 전체에 걸쳐 하나의 일관된 운동(회전, 늘이기, 반사, 전단, 투영)으로 모든 점에 동시에 작용합니다.
이 사상이 선형인 까닭은 벡터의 두 연산을 그대로 존중하기 때문입니다. A(x + y) = Ax + Ay이고 A(cx) = c·Ax입니다. 그래서 직선은 직선으로 남고, 원점은 제자리에 머물며, 일정한 간격의 격자는 (기울어질 수는 있어도) 일정한 간격의 격자로 옮겨집니다.
행렬을 눈으로 읽는 방법은 이렇습니다. 열은 기저 벡터가 도착하는 자리입니다. 첫 번째 열은 [1, 0]이 보내지는 상(image)이고, 두 번째 열은 [0, 1]이 보내지는 상입니다. 두 축이 어디로 가는지만 알면 변환 전체가 결정됩니다. 다른 모든 벡터가 이 두 축의 결합이기 때문입니다.