Meervariabelecalculus vanuit eerste principes
De som-over-paden-formule is eigenlijk matrixvermenigvuldiging term voor term uitgeschreven. Wanneer functies vectorwaardig zijn, valt de kettingregel ineen tot een net product van Jacobianen, en dit is de vorm die echte autograd-systemen aandrijft.
Voor een compositie f ∘ g is de Jacobiaan van het geheel de Jacobiaan van de buitenste afbeelding (geëvalueerd in de binnenste uitvoer) maal de Jacobiaan van de binnenste afbeelding:
De vormcontrole is wat het laat kloppen. Als g: Rⁿ → Rᵏ en f: Rᵏ → Rᵐ, dan is J_g k×n, is J_f m×k, en hun product is m×n, precies de vorm die de algehele afbeelding Rⁿ → Rᵐ vereist. De inwendige dimensie k valt weg, net als bij gewone matrixvermenigvuldiging.