Meervariabelecalculus vanuit eerste principes
Eén idee draagt het grootste deel van de meerdimensionale calculus: om een functie van veel variabelen te differentiëren, verander je slechts één variabele tegelijk en bevries je alle andere. Houd y stil, beweeg x een beetje, en vraag hoe f reageert. Die veranderingssnelheid is de partiële afgeleide ∂f/∂x.
De kromme ∂ ("partieel") is de enige nieuwe notatie. Al het andere is differentiëren uit Cursus I (machtsregel, productregel, kettingregel) toegepast alsof de bevroren variabelen gewoon constanten waren.
Sta op een heuvel en de helling die je voelt hangt af van welke kant je opkijkt. Loop recht naar het oosten, waarbij je noord-zuidpositie vast blijft, en de steilheid onder je voeten is de partiële afgeleide ∂f/∂x. Draai je om en loop in plaats daarvan recht naar het noorden, waarbij je oost-west vast houdt, en je voelt een andere helling, ∂f/∂y. Elke partiële afgeleide bevriest één richting en rapporteert de stijging of daling langs de andere.