Analiza jednowymiarowa od pierwszych zasad
Gdy znajdziesz punkt krytyczny (gdzie f′ = 0), istnieje szybki sposób, aby określić, czy to szczyt czy dolina, szybszy niż sprawdzanie znaków pochodnej po obu jego stronach. Wystarczy zbadać wypukłość funkcji w tym punkcie, używając drugiej pochodnej.
Logika jest prosta. Jeśli w płaskim miejscu krzywa wygina się ku górze (jest wypukła), to znajdujemy się na dnie miski – jest tam minimum. Jeśli krzywa wygina się w dół (jest wklęsła), znajdujemy się na szczycie kopuły – mamy tam maksimum.
Wyobraź sobie położenie szklanej kulki na płaskim miejscu zakrzywionej powierzchni, a następnie wylanie odrobiny wody. Miska zatrzymuje wodę i kołysze kulkę na dnie, to jest minimum, wklęsłe ku górze. Kopuła zrzuca wodę i pozwala kulce zjechać ze szczytu, to jest maksimum, wypukłe w dół. Druga pochodna po prostu mówi ci, na jakim kształcie stoisz.