Analiza wielowymiarowa od pierwszych zasad
Wzór na sumę po ścieżkach to tak naprawdę mnożenie macierzy zapisane wyraz po wyrazie. Gdy funkcje są wektorowe, reguła łańcuchowa zwija się w elegancki iloczyn jakobianów, i to jest postać, która faktycznie napędza prawdziwe systemy automatycznego różniczkowania (autograd).
Dla kompozycji f ∘ g jakobian całości to jakobian funkcji zewnętrznej (obliczony na wyjściu funkcji wewnętrznej) razy jakobian funkcji wewnętrznej:
Sprawdzenie wymiarów to to, co sprawia, że wszystko działa. Jeśli g: Rⁿ → Rᵏ i f: Rᵏ → Rᵐ, to J_g ma wymiary k×n, J_f ma m×k, a ich iloczyn ma m×n – dokładnie taki wymiar, jakiego wymaga całościowe odwzorowanie Rⁿ → Rᵐ. Wymiar wewnętrzny k się skraca, tak jak przy zwykłym mnożeniu macierzy.