Analiza wielowymiarowa od pierwszych zasad
Podobnie jak funkcja jednej zmiennej posiada drugą pochodną, tak funkcja wielu zmiennych ma pochodne cząstkowe drugiego rzędu. Oznacza to po prostu dwukrotne różniczkowanie. Nowość polega na tym, że za każdym razem możesz wybrać, po której zmiennej różniczkujesz, a mieszanie ich daje interesujący rezultat.
Czyste pochodne cząstkowe drugiego rzędu ∂²f/∂x² i ∂²f/∂y² mierzą krzywiznę wzdłuż każdej z osi. Z kolei mieszane pochodne cząstkowe ∂²f/∂x∂y powstają przez zróżniczkowanie najpierw po y, a następnie po x; mierzą one, jak nachylenie w jednym kierunku zmienia się przy poruszaniu się w drugim.
Pierwsza pochodna cząstkowa mówi ci o stromości zbocza; druga pochodna cząstkowa mówi ci, jak ta stromość sama się zmienia, gdy się poruszasz, co jest krzywizną nachylenia. Idąc na wschód, czy grunt staje się coraz bardziej stromy, czy zaczyna się wypłaszczać? To zagięcie wschodniego nachylenia ∂f/∂x w miarę jak idziesz dalej na wschód to druga pochodna cząstkowa ∂²f/∂x², krzywizna wzgórza w tym kierunku.