Cálculo de uma variável a partir dos primeiros princípios
Assim que encontraste um ponto crítico (onde f′ = 0), há uma forma rápida de dizer se é um pico ou um vale, mais rápida que confirmar sinais de ambos os lados. Basta olhar para a concavidade ali, usando a segunda derivada.
A lógica é simples. Num ponto plano, se a curva encaixa para cima (concavidade voltada para cima), deves estar no fundo de uma tigela, um mínimo. Se se curva para baixo (concavidade voltada para baixo), estás no topo de uma cúpula, um máximo.
Imagine pousar um berlinde num ponto plano de uma superfície curva, e depois despejar um pouco de água. Uma taça retém a água e embala o berlinde no fundo, isso é um mínimo, uma concavidade voltada para cima. Uma cúpula derrama a água e deixa o berlinde rolar do topo, isso é um máximo, uma concavidade voltada para baixo. A segunda derivada diz-lhe simplesmente em qual formato se encontra.