Cálculo multivariável a partir dos primeiros princípios
Torna a Jacobiana quadrada (n entradas, n saídas) e o seu determinante assume uma função geométrica concreta. Da Álgebra Linear, o determinante de uma matriz é o fator pelo qual ela escala o volume. O determinante da Jacobiana diz quanto uma aplicação estica ou encolhe um pequeno pedaço de espaço à medida que este a atravessa.
Se |det J| > 1, uma pequena caixa do espaço de entrada sai maior, pelo que a aplicação expande. Se |det J| , sai menor, pelo que a aplicação contrai. Se det J = 0, a caixa é esmagada até ficar plana: a aplicação colapsa uma dimensão e é localmente não invertível.
Desenhe um pequeno quadrado numa folha de borracha elástica, depois puxe a folha para distorcer a grelha. O determinante jacobiano é o número único que lhe diz quanto a área daquele pequeno quadrado cresceu ou encolheu no estiramento. Puxe a borracha em ambos os sentidos e o quadrado incha; esmague-a num único vinco e a sua área cai para zero.