Cálculo multivariável a partir dos primeiros princípios
Os valores próprios da Hessiana transformam a nebulosa pergunta 'que tipo de ponto crítico é este?' numa checklist limpa. Num ponto onde o gradiente é zero, os sinais dos valores próprios da Hessiana dizem se estás numa tigela, numa cúpula, ou numa sela.
Este é o teste da segunda derivada multivariável, e é uma generalização direta do 1-D: lá, f″ > 0 significava mínimo e f″ máximo. Os valores próprios da Hessiana são as versões de muitas direções daquele único número.
Imagine três snacks. Uma tigela de sopa curva para cima independentemente de como a incline, uma cúpula de gelado curva para baixo em todos os lados, e uma batata frita Pringle curva para cima ao longo do seu comprimento, mas para baixo na sua largura. Os valores próprios da matriz hessiana são simplesmente as curvaturas ao longo dessas direções especiais: sinal igual significa tigela ou cúpula, sinais opostos (como 2 e −2) significam a batata frita, uma sela.