Cálculo multivariável a partir dos primeiros princípios
A fórmula de soma sobre caminhos é, na verdade, multiplicação matricial escrita termo a termo. Quando as funções são vetoriais, a regra da cadeia colapsa num produto limpo de Jacobianas, e esta é a forma que alimenta os sistemas reais de autograd.
Para uma composição f ∘ g, a Jacobiana do conjunto é a Jacobiana da aplicação externa (avaliada na saída da interna) vezes a Jacobiana da aplicação interna:
A verificação de forma é o que faz tudo encaixar. Se g: Rⁿ → Rᵏ e f: Rᵏ → Rᵐ, então J_g é k×n, J_f é m×k, e o seu produto é m×n, exatamente a forma que a aplicação global Rⁿ → Rᵐ exige. A dimensão interna k cancela, tal como na multiplicação matricial ordinária.