Cálculo multivariável a partir dos primeiros princípios
A otimização em muitas dimensões começa exatamente onde começou em 1-D: encontra onde o declive é zero. Mas agora 'declive' é o vetor gradiente inteiro, por isso um ponto crítico é onde toda a derivada parcial se anula de uma vez, ∇f = 0.
Isto é necessário mas não suficiente: um gradiente zero marca um mínimo, um máximo, ou uma sela. Para os distinguir trazes a Hessiana e lês os sinais dos valores próprios, o teste de segunda ordem da Lição 13. O gradiente zero localiza o candidato; a Hessiana classifica-o.
Caminhe por um campo de golfe montanhoso e procure os pontos nivelados, os lugares onde uma bola ficaria parada. O tee no topo de uma colina, o green baixo numa depressão, e a sela plana ao longo de uma crista são todos pontos onde o chão é momentaneamente plano em todas as direções. Essa planura é ∇f = 0; se está num pico, numa depressão ou numa sela é uma questão separada que a matriz hessiana responde.