Geometria e álgebra das aplicações lineares, vetores e matrizes
Tal como um vetor tem comprimento, uma matriz tem um "tamanho." Duas medidas dominam, e respondem a perguntas diferentes: quão grandes são as entradas, versus quanto a matriz pode esticar um vetor?
A norma de Frobenius trata a matriz como uma longa lista de números e toma o comprimento Euclidiano: eleva cada entrada ao quadrado, soma, tira a raiz. A norma espectral, em vez disso, mede o estiramento máximo, o maior fator pelo qual A consegue alongar qualquer vetor unitário, que acaba por ser o maior valor singular.
Pense numa matriz como um amplificador de guitarra: introduz um sinal e ele sai mais alto. A norma espectral é o ganho máximo do amplificador, o maior fator pelo qual pode potenciar qualquer entrada que lhe envie. Rode o botão para a sua configuração mais alta e o mais alto que um sinal unitário pode sair é exatamente essa norma.