Cálculo de uma variável a partir dos primeiros princípios
Uma vez que você encontrou um ponto crítico (onde f′ = 0), há uma forma rápida de dizer se é um pico ou um vale, mais rápida que conferir sinais de ambos os lados. Basta olhar a concavidade ali, usando a segunda derivada.
A lógica é simples. Em um ponto plano, se a curva se encaixa para cima (côncava para cima), você deve estar no fundo de uma tigela, um mínimo. Se ela se curva para baixo (côncava para baixo), você está no topo de uma cúpula, um máximo.
Imagine colocar uma bola de gude em um local plano de uma superfície curva e depois derramar um pouco de água. Uma tigela segura a água e acomoda a bola no fundo, isso é um mínimo, formando uma taça para cima. Uma cúpula derrama a água e deixa a bola rolar pelo topo, isso é um máximo, cobrindo para baixo. A segunda derivada simplesmente diz em qual formato você está.