Cálculo multivariável a partir dos primeiros princípios
Otimização em muitas dimensões começa exatamente onde começou em 1-D: encontre onde a inclinação é zero. Mas agora 'inclinação' é o vetor gradiente inteiro, então um ponto crítico é onde toda derivada parcial se anula de uma vez, ∇f = 0.
Isto é necessário mas não suficiente: um gradiente zero marca um mínimo, um máximo, ou uma sela. Para distingui-los você traz a Hessiana e lê os sinais dos autovalores, o teste de segunda ordem da Lição 13. Gradiente zero localiza o candidato; a Hessiana o classifica.
Caminhe por um campo de golfe acidentado e procure pelos pontos nivelados, os lugares onde uma bola ficaria parada. O tee no topo da colina, o green baixo em uma depressão e a sela plana ao longo de uma crista são todos pontos onde o chão é momentaneamente plano em todas as direções. Essa planura é ∇f = 0; se você está em um pico, em uma depressão ou em uma sela é uma questão separada que o Hessiano responde.