Cálculo multivariável a partir dos primeiros princípios
As derivadas parciais só dão a inclinação ao longo dos eixos coordenados, mas você pode caminhar em qualquer direção. A derivada direcional D_u f responde: se eu der um passo ao longo do vetor unitário u, com que rapidez varia f? A resposta acaba por ser um único produto escalar com o gradiente.
Imagine caminhar por aquela mesma colina, mas em vez de olhar direto para cima, você escolhe uma direção na bússola, digamos nordeste, e caminha por lá. A derivada direcional D_u f é a inclinação que você realmente sente sob suas botas ao longo dessa direção. Vá em direção à direção mais íngreme e você sentirá a subida completa; vire de lado ao longo da encosta e o chão parecerá plano.
Como D_u f = ∇f·u = ‖∇f‖‖u‖cos θ = ‖∇f‖cos θ (porque u é um vetor unitário), a taxa de variação é máxima exatamente quando cos θ = 1, ou seja, quando u aponta ao longo de ∇f. Rode a seta de direção abaixo e observe a leitura da inclinação atingir o máximo quando ela se alinha com o gradiente e se anular quando lhe é perpendicular.