Непрерывность — Математический анализ I

Неформально функция непрерывна, если можно нарисовать её, не отрывая перо: без дыр, скачков, внезапных взрывов. Точная версия фиксирует это пределом, который вы только что изучили: в каждой точке то, куда функция идёт, должно совпадать с тем, где она есть.

Три вещи должны сойтись: f(a) существует, предел существует, и они равны. Если любое из трёх не выполняется — разрыв, и есть ровно три вида.

Устранимый разрыв — одна пропущенная точка, дыра, где предел существует, но функция пропустила это значение (как дыра (x²−4)/(x−2)). Скачок — левый и правый пределы расходятся, и график прыгает с одного уровня на другой. Бесконечный разрыв — вертикальная асимптота, где функция уходит к ±∞ (как 1/x при 0).

Где это встречается в MLНепрерывность — то, что вообще позволяет градиентному спуску работать: непрерывная (и гладкая) поверхность потерь не имеет внезапных обрывов, так что малый шаг меняет потерю лишь немного и предсказуемо. ТПЗ — причина, по которой методы поиска корней и бисекции гарантированно сходятся. А три типа разрывов — в точности патологии, затрудняющие оптимизацию потерь.