Когда интеграл — произведение двух несвязанных функций, как x·eˣ, подстановка обычно не помогает. Инструмент для произведений — интегрирование по частям, интегральный аналог правила произведения.
Оно прямо следует из обращения правила произведения. Формула обменивает один интеграл на другой, надеюсь более простой:
Искусство — выбрать u и dv. Возьмите u как часть, которая упрощается при дифференцировании (чтобы остаточный интеграл был легче), а dv — часть, которую можно проинтегрировать.
Где это встречается в MLИнтегрирование по частям — техника за интегралами энтропии и кросс-энтропии, пронизывающими ML. Вещи вроде ∫ x ln x dx возникают при вычислении энтропии непрерывных распределений. Также рабочая лошадка при выводе ожиданий и в математике вариационного вывода, где интегралы произведений плотностей и лог-плотностей постоянно встречаются.